罗小明——与圆锥曲线有关的动点最值问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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与圆锥曲线有关的动点最值问题

湖南省益阳市牌口学校     罗小明

    在解析几何的学习过程中，我们时常会遇到与圆锥曲线有关的动点最值问题，并且在各类考试中也经常喜欢考查对这类问题的掌握情况.下面向大家介绍几种与圆锥曲线有关的动点最值问题的解决方法，在考前做到有备无患，并形成基本技能，从而在考试中作出快捷反应，对所学方法能够应用自如，使问题迅速获解.

  一、直线和圆上的动点所成线段和差的最值问题

方法点拨：本例是求一条直线上一个动点与两个圆上的动点的距离差的最大值以及距离和的最小值问题.我们需要用到的方法有：①求线段和差的最小值或最大值通常需要利用三角形三边关系定理来建立不等量关系；②辅助线通常把直线上的动点与圆上的动点连接起来，且把它与圆心连接起来.还要连接圆心与圆上的动点；③异向不等式要利用不等式的性质3在不等式两边同时乘以-1变成同向不等式；④第（1）小问求线段差的最大值用到了“将军饮马问题”作对称点来解决.第（2）小问求线段和的最小值用到了公理“两点之间，线段最短”.

 二、抛物线和圆上的动点所成线段与该点到纵轴距离和的最值问题

 方法点拨：本例是求抛物线上的动点与圆上的动点之间构成的线段与抛物线的这个动点到纵轴的距离和的最小值问题.这里出现了抛物线上的动点，我们的解决方法是应用抛物线的重要性质“抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离”，因此辅助线自然连接焦半径且过这一点向准线引垂线.当然，这里也是求线段和的最小值，跟例1一样用到了“两点之间，线段最短”来得到不等式.

  三、椭圆上的动点和定点所成线段与焦半径之差的最值问题

  方法点拨：本例是椭圆上的动点P与定点M和椭圆的左焦点F₁构成的线段的差的最小值问题，这样的题型往往需要用到两个方面的知识：①第一个应用是椭圆的定义将一条焦半径转换成另一条焦半径表示，体现了转化的数学思想；②两点之间，线段最短.

  四、双曲线上的动点和圆上的动点构成的线段与焦半径的和的最值问题

 方法点拨：本例是求双曲线上的一动点与圆上的一动点以及它与双曲线的左焦点所成线段和的最小值问题.首先与例3类似，需要用双曲线的定义将其中的一条焦半径用另一条焦半径表示，然后问题迅速转化为求两点之间线段最短的问题.

 五、椭圆上的动点与隐形圆上的动点所成线段的最值问题

方法点拨：本例是椭圆是的动点与隐形圆上的动点所成线段的最值求解问题.我们遇到一个动点与一个定点的距离为定值时，要自然而然联想到构造辅助圆的方法来解决问题.这里还应用了椭圆的最大焦半径和最小焦半径在什么位置取到.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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